EBOB, EKOK ve Asal Çarpanlar Hesaplama

Nasıl kullanılır?

1. Sayı kutusuna sayıları virgülle ayırarak yazın: "48, 18" ya da "12, 18, 30" gibi. Tek bir sayı yazarsanız araç yalnızca o sayının asal çarpanlarını, asal olup olmadığını ve bölenlerini gösterir.
2. Sonuç siz yazarken kısa bir beklemeden sonra kendiliğinden belirir; isterseniz "Hesapla" düğmesine ya da Enter tuşuna da basabilirsiniz. Üstte EBOB, EKOK ve sayıların aralarında asal olup olmadığı görünür.
3. Aşağı inerek Öklid algoritmasının satırlarını, EKOK hesabını, ortak bölme tablosunu, çarpan ağacını, asal sayı testinin gerekçesini ve bölenler listesini inceleyin. Ödevinizdeki işlemle karşılaştırmak için adımları sırayla okuyun.
4. "Sonucu kopyala" düğmesi tüm çözümü düz metin olarak panoya alır; ödev dosyanıza ya da mesajınıza yapıştırabilirsiniz. Sayfanın altındaki 1–1000 tablosunda girdinizin asal çarpanları renkle vurgulanır.

EBOB ve EKOK nedir?

EBOB, "en büyük ortak bölen" ifadesinin kısaltmasıdır: verilen sayıların hepsini tam bölen sayılar arasındaki en büyüğüdür. EKOK ise "en küçük ortak kat" demektir: verilen sayıların hepsine tam bölünen sayılar arasındaki en küçüğüdür. 48 ve 18 örneğinde 48'in bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 ve 48; 18'in bölenleri 1, 2, 3, 6, 9 ve 18'dir. Ortak bölenler 1, 2, 3 ve 6 olduğundan EBOB 6'dır. 48'in katları 48, 96, 144 diye, 18'in katları 18, 36, 54 diye sürer ve ilk ortak kat 144'tür; yani EKOK 144 çıkar.

İki kavram birbirinin tersi gibi görünse de aralarında güzel bir bağ vardır: iki sayı için EBOB ile EKOK'un çarpımı sayıların çarpımına eşittir. 6 × 144 = 864 = 48 × 18. Bu eşitlik bir sonucu doğrulamak için de, EKOK'u hızlıca bulmak için de kullanılır. Ancak üç ya da daha fazla sayıda bu eşitlik geçerli değildir; orada işlem ikişer ikişer zincirleme yapılır. Bu araç da böyle çalışır ve her zincir halkasını ayrı satırlarla gösterir.

EBOB nasıl bulunur? Üç yöntem

1. Bölenleri listeleme. Her sayının bölenlerini yazar, ortak olanların en büyüğünü seçersiniz. Küçük sayılarda sezgisel ve öğreticidir; büyük sayılarda zahmetlidir. Aracın "Bölenler" bölümü bu listeleri sizin için çıkarır, EBOB'un bölenlerini de ortak bölenler olarak ayrıca verir.

2. Asal çarpanlara ayırma. Sayıları asal çarpanlarına ayırırsınız: 48 = 2⁴ · 3 ve 18 = 2 · 3². Ortak asalları en küçük üsleriyle çarparsınız: 2¹ · 3¹ = 6. Okullarda en çok öğretilen yöntem budur ve araçtaki "asal çarpanlarla yöntem" tablosu her asal için üsleri yan yana koyar.

3. Öklid algoritması. Büyük sayıyı küçüğe bölersiniz, sonra küçük sayıyı kalana bölersiniz ve kalan sıfır olana dek sürdürürsünüz. 48 = 2 × 18 + 12, 18 = 1 × 12 + 6, 12 = 2 × 6 + 0; son sıfır olmayan kalan 6'dır. Algoritma yaklaşık 2300 yıllıktır ve çarpanlara ayırma gerektirmediği için çok büyük sayılarda bile saniyenin binde biri sürede biter. Satır sayısı, küçük sayının basamak sayısının yaklaşık beş katını asla aşmaz.

EKOK nasıl bulunur?

En yaygın iki yol vardır. Birincisi asal çarpanlarla: tüm asalları, hangi sayıda geçerse geçsin, en büyük üsleriyle çarparsınız. 48 ve 18 için 2⁴ · 3² = 144. İkincisi ortak bölme tablosudur: sayıları yan yana yazar, en az birini bölen en küçük asalla hepsini böler, bölünemeyenleri aynen aşağı indirirsiniz. Tüm satırlar 1 olunca sağdaki asalların çarpımı EKOK'tur. Araç ikinci yöntemin tablosunu otomatik çizer; 12, 18 ve 30 için tablo 2, 2, 3, 3, 5 asallarını verir ve çarpım 180'dir.

Tabloları üretirken bilinçli bir sınır koyduk: ortak bölme tablosu 30 satırı aşacak kadar uzunsa gösterilmez, çünkü okunamaz hâle gelir. Bu durumda asal çarpan üs tablosu ve zincirleme formül yine görünür; sonuç her zaman kesindir.

Asal çarpanlara ayırma ve çarpan ağacı

Aritmetiğin temel teoremi, 1'den büyük her tam sayının asal çarpanların çarpımı olarak, çarpanların sırası dışında tek bir biçimde yazılabileceğini söyler. 360 sayısını en küçük asaldan başlayarak bölerseniz 360 = 2 × 180, 180 = 2 × 90, 90 = 2 × 45, 45 = 3 × 15, 15 = 3 × 5 elde edersiniz; yani 360 = 2³ · 3² · 5. Çarpan ağacı bu bölmeleri dallar hâlinde gösterir: her adımda sayı bir asal yaprağa ve kalana ayrılır, kalan sonraki dalın gövdesi olur. Araç bu ağacı ve altındaki asal, üs, değer tablosunu her bileşik sayı için çizer.

Asal sayı nedir, nasıl test edilir?

Asal sayı, tam olarak iki pozitif böleni olan sayıdır: 1 ve kendisi. 2, 3, 5, 7, 11, 13 ilk asallardır; 2 tek çift asaldır. 1 asal sayı değildir, çünkü yalnızca bir böleni vardır; bileşik de sayılmaz. 1 ile 1000 arasında 168 asal sayı bulunur, 100'e kadar ise 25 tanedir. Aracın alt kısmındaki tablo bu asalları kalın ve renkli gösterir; girdinizin asal çarpanları ve girdiğiniz sayının kendisi ayrıca işaretlenir.

Bir sayının asal olup olmadığını anlamak için onu karekökünden küçük ya da eşit asallara bölmek yeter. Çünkü bileşik bir sayının en az bir çarpanı karekökünü aşmaz. 97 için √97 ≈ 9,85 olduğundan yalnızca 2, 3, 5 ve 7 denenir ve hiçbiri 97'yi bölmez; 97 asaldır. 91 ise 7 × 13 olduğu için asal değildir, hâlbuki ilk bakışta asal gibi görünür. Çok büyük sayılarda tek tek bölmek mümkün olmadığından araç Miller–Rabin testini kullanır; 3,3 × 10²⁴'ün altındaki sayılarda bu test kesin sonuç verir, daha büyüklerde çok yüksek olasılıklı sonuç verir ve bunu sayfada açıkça belirtir.

Bölenler ve bölen sayısı

Bir sayının kaç böleni olduğunu bulmak için asal çarpanlarının üslerine 1 ekleyip çarparsınız. 360 = 2³ · 3² · 5 için (3+1) × (2+1) × (1+1) = 24 bölen vardır. Nedeni basittir: bir bölen oluştururken 2'nin üssünü 0'dan 3'e (4 seçenek), 3'ün üssünü 0'dan 2'ye (3 seçenek) ve 5'in üssünü 0 ya da 1 (2 seçenek) seçersiniz; seçimler birbirinden bağımsızdır. Araç bölen sayısını, bölenlerin toplamını ve (bin bölene kadar) bölenlerin tam listesini verir. Bölenlerinin toplamı (kendisi dahil) sayının iki katına eşit olan mükemmel sayılar (6, 28, 496) merak edenler için ilginç bir araştırma konusudur.

Günlük hayattan örnekler

• Karo döşemek. 360 × 240 cm'lik bir zemini hiç kesmeden, birbirine eşit en büyük kare karolarla kaplamak istiyorsanız EBOB(360, 240) = 120 cm bulursunuz; 3 × 2 = 6 karo yeter.
• Çakışan seferler. İki otobüs 12 ve 18 dakikada bir kalkıyorsa birlikte kalkış arası EKOK(12, 18) = 36 dakikadır.
• Kesir sadeleştirme. 48/18 kesrini pay ve paydanın EBOB'una (6) bölerek sadeleştirirsiniz: 8/3.
• Kesir toplama. 5/12 + 7/18 işleminde ortak payda olarak paydaların EKOK'unu (36) almak hesabı en kısa tutar.
• Grup bölme. 48 kız ve 30 erkek öğrenciyi her grupta aynı sayıda kız ve erkek olacak şekilde en fazla EBOB(48, 30) = 6 gruba ayırabilirsiniz.

Büyük sayılar ve sınırlar

Araç sayıları tarayıcının BigInt türüyle işler; bu sayede 16 basamaktan sonra bile yuvarlama hatası olmaz. Sayılar en fazla 40 basamak ve en fazla 10 adet olabilir. EBOB ve EKOK hesabı Öklid algoritmasıyla her boyutta anında biter. Çarpanlara ayırma ise matematikte hâlâ zor bir problemdir: iki büyük asalın çarpımı olan bir sayının çarpanlarını bulmak, bugünkü bilinen yöntemlerle bile çok uzun sürer. Bu zorluk modern şifrelemenin dayanağıdır. Bu yüzden araç çarpanlara ayırmaya toplam 2 saniye ayırır; süre dolarsa bulduğu çarpanları, ayrıştıramadığı bileşik kısmı ve bunun nedenini yazar. Sayfanın donmaması için bu sınır bilinçli konmuştur.

Sık yapılan hatalar

• EBOB ile EKOK'u karıştırmak. EBOB hiçbir zaman sayıların en küçüğünden büyük olamaz; EKOK ise hiçbir zaman en büyüğünden küçük olamaz. Sonucunuz bu aralığın dışındaysa bir yerde hata vardır.
• 1'i asal saymak. 1 asal değildir; asal çarpan listelerinde 1 yazılmaz.
• Ortak olmayan asalı EBOB'a katmak. EBOB'a yalnızca tüm sayılarda bulunan asallar girer, en küçük üsleriyle.
• Üçlü sayıda formülü yanlış uygulamak. EBOB × EKOK = çarpım eşitliği yalnızca iki sayı için doğrudur.
• Üssü eksik almak. EKOK'ta asalların en büyük üssü, EBOB'da en küçük üssü alınır; karıştırmak kolaydır.

Neden Bilişim Ajans aracı?

• Gizlilik. Sayılarınız yalnızca tarayıcınızda işlenir; hiçbir sunucuya gönderilmez ve saklanmaz.
• Çözüm yolu açık. Yalnızca sonucu değil, Öklid satırlarını, ortak bölme tablosunu, çarpan ağacını ve asal testinin gerekçesini görürsünüz.
• Tam kesinlik. BigInt sayesinde büyük sayılarda yuvarlama hatası yoktur; asal testi Miller–Rabin ile desteklenir.
• Kayıt ve limit yok. Sayfa bir kez açıldıktan sonra çevrimdışı da kullanılabilir.

ℹ️Araç eğitim ve bilgilendirme amaçlıdır. Sınavlarda ve ödevlerde işlem basamaklarını kendiniz yazmanız beklenebilir; önce kendi çözümünüzü yapıp sonucu burada denetlemek en iyi çalışma yoludur.

Sık sorulan sorular

İlgili araçlar

• Denklem Çözücü — 1. ve 2. derece denklemler, iki bilinmeyenli sistemler
• Oran Orantı Hesaplama — doğru ve ters orantı, ölçek
• Kombinasyon ve Permütasyon — sayma problemleri

💼Özel hesaplama aracı, eğitim yazılımı ya da kurumsal web projesi ihtiyacınız varsa Bilişim Ajans ekibi yardımcı olur.