Ortalama, Medyan, Mod ve Standart Sapma Hesaplama

Nasıl kullanılır?

1. Sayılarınızı "Sayı listesi" kutusuna yazın ya da yapıştırın. Excel veya Google Sayfalar'dan kopyaladığınız bir sütunu doğrudan yapıştırabilirsiniz; her satır bir değer sayılır. Elinizde .csv veya .txt dosyası varsa kutunun üstündeki alana bırakın; dosya yalnızca tarayıcınızda okunur.
2. Verinin bütün evreni mi yoksa evrenden seçilmiş bir örnek mi olduğuna karar verin ve "Anakütle" ya da "Örneklem" seçeneğini işaretleyin. Bu seçim yalnızca varyans ve standart sapmayı etkiler; ortalama, medyan ve mod aynı kalır.
3. İsterseniz "z-skoru için değer x" alanına bir sayı yazın. Araç, bu değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu hesaplar.
4. Sonuçlar siz yazdıkça anında belirir. "Adım adım çözüm" bölümü formüllerde sizin sayılarınızı gösterir; histogram ve sıklık tablosu verinin dağılımını görsel olarak özetler. İşiniz bitince sonuçları kopyalayın ya da CSV olarak indirin.

Ortalama, medyan ve mod arasındaki fark

Bu üç değer de "merkezi eğilim" ölçüsüdür; yani bir veri kümesinin tipik değerini tek sayıyla özetlemeye çalışır, ancak her biri farklı bir soruya cevap verir. Aritmetik ortalama, bütün değerlerin toplamının değer sayısına bölünmesiyle bulunur. Bir sınıfın sınav notu ortalaması ya da bir ürünün aylık ortalama satışı gibi durumlarda en bilinen ölçüdür. Medyan, değerler küçükten büyüğe dizildiğinde tam ortada kalan değerdir; değer sayısı çiftse ortadaki iki değerin ortalaması alınır. Mod ise en sık tekrar eden değerdir ve bir veri kümesinde birden fazla mod olabileceği gibi hiç mod olmayabilir de.

Farkı görmek için küçük bir örnek yeterlidir: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 listesinde toplam 40, değer sayısı 8 olduğundan ortalama 5'tir. Sıralı listede ortadaki iki değer 4 ve 5 olduğu için medyan 4,5'tir. En çok tekrar eden sayı 4 olduğu için mod 4'tür. Şimdi listeye 100 eklediğinizi düşünün: ortalama yaklaşık 15,6'ya fırlar, medyan ise yalnızca 5'e çıkar. İşte bu yüzden maaş, ev fiyatı ya da hane geliri gibi uç değerlerin bulunduğu verilerde medyan çoğu zaman ortalamadan daha dürüst bir özet sunar.

Standart sapma ve varyans nedir?

Merkezi değer tek başına yetmez; veri ortalamanın etrafında ne kadar yayılıyor, onu da bilmek gerekir. İki sınıfın not ortalaması 70 olabilir; ama birinde herkes 65 ile 75 arasında, diğerinde ise notlar 30 ile 100 arasında dağılmış olabilir. Yayılımı ölçen en yaygın değer standart sapmadır. Hesabı şöyledir: her değerin ortalamadan farkı alınır, bu farkların karesi toplanır, toplam bölenle bölünür (bu sayıya varyans denir) ve sonuncuda karekök alınır. Karekök almanın nedeni, sonucu verinin kendi birimine döndürmektir; varyansın birimi karedir, standart sapmanın birimi ise ölçtüğünüz şeyle aynıdır.

Yukarıdaki örnekte farkların kareleri toplamı 32'dir. Veriler tüm evreni oluşturuyorsa 32 / 8 = 4 varyansı ve √4 = 2 standart sapmayı elde edersiniz. Aynı veri daha büyük bir evrenden alınmış bir örnekse bölen n − 1 = 7 olur: varyans yaklaşık 4,5714, standart sapma yaklaşık 2,1381 çıkar.

Anakütle mi, örneklem mi?

Bu seçim, istatistik derslerinde en çok karıştırılan konulardan biridir. Elinizdeki sayılar incelemek istediğiniz grubun tamamıysa (örneğin bir sınıftaki 30 öğrencinin tamamının notu) anakütle formülünü, yani n'e bölmeyi kullanırsınız. Sayılar daha büyük bir grubu temsil etmek üzere seçilmiş bir örnekse (örneğin bir fabrikanın ürettiği binlerce parçadan ölçtüğünüz 20 parça) örneklem formülünü, yani n − 1'e bölmeyi kullanırsınız. Örneklem değerleri kendi ortalamalarına evrenin ortalamasından daha yakın durduğu için n'e bölmek yayılımı olduğundan küçük gösterir; n − 1 ile bölmek (Bessel düzeltmesi) bu eğilimi giderir. Hangisini seçeceğinizden emin değilseniz ders kitabınıza ya da ödevin yönergesine bakın; Excel'de anakütle için STDSAPMA.P, örneklem için STDSAPMA.S işlevleri vardır.

Çeyrekler, IQR ve aykırı değerler

Medyan veriyi iki eşit parçaya böler; birinci çeyrek (Q1) alt yarının, üçüncü çeyrek (Q3) üst yarının ortasıdır. İkisinin farkı çeyrekler açıklığıdır (IQR) ve verinin orta yüzde 50'sinin ne kadar geniş bir aralığa yayıldığını gösterir. Uç değerlerden etkilenmediği için standart sapmaya sağlam bir alternatiftir. Pratikte Q1 − 1,5 × IQR değerinden küçük ya da Q3 + 1,5 × IQR değerinden büyük sayılar aykırı değer adayı sayılır; bu bir kesin hüküm değil, incelemeye değer olduğunu gösteren bir kuraldır.

Çeyrek hesabı için birden çok yöntem kullanılır. Bu araç, Excel'in ÇEYREK.DHL (QUARTILE.INC) işleviyle aynı sonucu veren doğrusal enterpolasyon yöntemini uygular. Bazı ders kitapları değer sayısına göre farklı bir yarıya bölme yöntemi anlatır; küçük veri kümelerinde Q1 ve Q3 bu yüzden birkaç onda farklı çıkabilir. Ödev yapıyorsanız öğretmeninizin yöntemini kontrol edin.

Geometrik ve harmonik ortalama

Aritmetik ortalama toplama dayanır; geometrik ortalama çarpmaya dayanır. Değerlerin çarpımının n'inci kökü alınır. Büyüme oranları, enflasyon ya da faiz gibi birbirini çarpan değişimlerde doğru ortalama budur. Harmonik ortalama ise değerlerin terslerinin aritmetik ortalamasının tersidir ve hız, fiyat başına miktar gibi oranların ortalamasında kullanılır: gidişte saatte 60, dönüşte saatte 40 kilometre hızla giden bir aracın ortalama hızı 50 değil, harmonik ortalama olan 48'dir. Her iki ortalama da yalnızca pozitif değerlerle tanımlıdır; listede sıfır ya da negatif sayı varsa araç bunu "tanımsız" olarak belirtir.

z-skoru ne anlatır?

z-skoru, bir değerin ortalamanın kaç standart sapma üstünde ya da altında olduğunu gösterir: (x − ortalama) / standart sapma. Sıfır, değerin tam ortalamada olduğunu; +1 ortalamanın bir standart sapma üstünde olduğunu; −2 iki standart sapma altında olduğunu söyler. Farklı ölçeklerdeki sonuçları karşılaştırmak için kullanışlıdır: matematikten 70, fizikten 60 alan bir öğrencinin hangi derste sınıfına göre daha başarılı olduğunu z-skorları gösterir. Normal dağılan verilerde değerlerin yaklaşık yüzde 68'i ortalamanın bir, yaklaşık yüzde 95'i iki standart sapma çevresinde bulunur.

Histogram ve sıklık tablosu

Sayılar tek başına dağılımı göstermez. Histogram, değerleri eşit genişlikte aralıklara böler ve her aralığa kaç değerin düştüğünü sütunlarla çizer. Sütun sayısı Sturges kuralıyla (yaklaşık log₂ n + 1) belirlenir ve en fazla 20 olur. Tek tepeli simetrik bir şekil ortalama ile medyanın yakın olduğunu, sağa uzanan bir kuyruk ortalamanın medyandan büyük olduğunu düşündürür. Sıklık tablosu aynı bilgiyi sayılarla verir: her değerin kaç kez geçtiği, toplamdaki oranı ve birikimli oran. Çok sayıda farklı değer varsa tablo otomatik olarak sınıf aralıklarına geçer.

Sık yapılan hatalar

• Ondalık ayırıcıyı karıştırmak. Türkçede ondalık virgüldür. 3,5 yazarsanız üç buçuk okunur; 1.250 ise bin iki yüz elli sayılır. İngilizce biçimli 3.5 gibi sayılar da tanınır, ancak 1.250 gibi üç haneli noktalı kısımlar binlik ayırıcı kabul edilir.
• Başlık satırını bırakmak. Dosyadaki ilk satır bir sütun adıysa araç onu atlamayı dener; yine de yalnızca sayı içeren tek sütun yüklemeniz en güvenlisidir.
• Yanlış sapma türünü seçmek. Örneklem verisine anakütle formülü uygulamak yayılımı biraz küçük gösterir.
• Modu her zaman beklemek. Hiçbir değer tekrar etmiyorsa mod yoktur; araç bunu açıkça yazar.
• Küçük veriden büyük sonuç çıkarmak. Üç beş değerden hesaplanan standart sapma güvenilir bir genelleme sunmaz.

Neden Bilişim Ajans aracı?

• Gizlilik. Sayılarınız ve dosyanız yalnızca tarayıcınızda işlenir; hiçbir sunucuya gönderilmez, saklanmaz.
• Adım adım çözüm. Sonuçla yetinmez, formülü sizin sayılarınızla gösterir; ödev ve sınav çalışması için uygundur.
• Türkçe sayı biçimi. Ondalık virgülü ve binlik noktayı doğru okur, sonuçları Türkçe biçimde yazar.
• Tek sayfada her şey. Ortalama, medyan, mod, sapma, çeyrekler, histogram ve sıklık tablosu için ayrı ayrı araç aramazsınız.

ℹ️Sonuçlar bilgilendirme ve eğitim amaçlıdır. Bilimsel yayın, tez ya da resmî rapor için kullandığınız yöntemi (anakütle/örneklem, çeyrek yöntemi) kendi kaynağınızla doğrulayın.

Sık sorulan sorular

İlgili araçlar

• Yüzde Hesaplama — oran, artış ve azalış hesapları
• Not Ortalaması Hesaplama — ders notlarının ortalaması
• Kombinasyon ve Permütasyon — olasılık hesapları

💼Özel analiz aracı, veri paneli ya da kurumsal web yazılımı ihtiyacınız varsa Bilişim Ajans ekibi yardımcı olur.